Kolme muutuva lineaarvõrrandisüsteemi ja lahenduse meetod

Arhitektuuris on hoonete ehitamiseks matemaatilised arvutused, millest üks on lineaarvõrrandite süsteem. Lineaarvõrrandite süsteem on kasulik lõikepunktide koordinaatide määramiseks. Õige koordinaat on eskiisile vastava hoone tootmiseks hädavajalik. Selles artiklis käsitleme kolme muutujaga lineaarvõrrandit (SPLTV).

Kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteem koosneb mitmest kolme muutujaga lineaarvõrrandist. Kolme muutujaga lineaarvõrrandi üldine vorm on järgmine.

kirves + poolt + cz = d

a, b, c ja d on reaalarvud, kuid a, b ja c ei saa kõik olla 0. Võrrandil on palju lahendusi. Kolmanda muutuja väärtuse määramiseks saab ühe lahenduse võrrelda mis tahes väärtust kahe muutujaga.

Väärtus (x, y, z) on kolme muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi lahendite kogum, kui väärtus (x, y, z) rahuldab SPLTV kolme võrrandit. SPLTV arvelduskomplekti saab määrata kahel viisil, nimelt asendusmeetodil ja eliminatsioonimeetodil.

Asendusmeetod

Asendusmeetod on meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks, asendades ühe muutuja väärtuse ühest võrrandist teise. Seda meetodit viiakse läbi seni, kuni kõik muutujad saadakse lineaarvõrrandite kolme muutujaga süsteemis.

(Loe ka: kahe muutujaga lineaarvõrrand)

Asendusmeetodit on lihtsam kasutada SPLTV-s, mis sisaldab võrrandeid koefitsiendiga 0 või 1. Siin on sammud asendusmeetodi lahendamiseks.

  1. Leidke võrrand, millel on lihtsad vormid. Lihtsustatud võrrandite koefitsient on 1 või 0.
  2. Väljendage üks muutuja kahe teise muutuja kujul. Näiteks väljendatakse muutujat x y või z.
  3. Asendage teises etapis saadud muutujate väärtused SPLTV muudesse võrranditesse, nii et saadakse kahe muutujaga lineaarne võrrandisüsteem (SPLDV).
  4. Määrake kolmandas etapis saadud SPLDV asula.
  5. Määrake kõigi tundmatute muutujate väärtused.

Tehkem järgmine näite probleem. Leidke järgmise kolmemuutuja lineaarvõrrandisüsteemi lahendite komplekt.

x + y + z = -6… (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Esiteks saame võrrandi (1) teisendada väärtuseks z = -x - y - 6 võrrandiks (4). Seejärel võime võrrandi (4) võrrandisse (2) asendada järgmiselt.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Pärast seda võime võrrandi (4) võrrandiga (3) asendada järgmiselt.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Meil on väärtused x = -5 ja y = -3. Selle saab z-väärtuse saamiseks ühendada võrrandiga (4) järgmiselt.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3-6

z = 2

Niisiis, meil on lahendite komplekt (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Eliminatsioonimeetod

Elimineerimismeetod on lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise meetod, kõrvaldades ühe muutuja kahest võrrandist. Seda meetodit viiakse läbi seni, kuni on jäänud ainult üks muutuja.

Elimineerimismeetodit saab kasutada kõigis kolme muutujaga lineaarvõrrandite süsteemides. Kuid see meetod nõuab pikka sammu, sest iga sammuga saab kõrvaldada ainult ühe muutuja. SPLTV arvelduskomplekti määramiseks on vaja vähemalt 3 kõrvaldamismeetodit. See meetod on lihtsam, kui seda kombineerida asendusmeetodiga.

Elimineerimismeetodi abil lõpetamise etapid on järgmised.

  1. Jälgige SPLTV kolme sarnasust. Kui kahel võrrandil on sama muutuja sama koefitsient, lahutage või lisage need kaks võrrandit, nii et muutuja koefitsient on 0.
  2. Kui ühelgi muutujal pole sama koefitsienti, korrutage mõlemad võrrandid arvuga, mis muudab mõlema võrrandi muutuja koefitsiendi samaks. Lahutage või liidake kaks võrrandit nii, et muutuja koefitsient oleks 0.
  3. Korrake 2. sammu teiste võrrandipaaride jaoks. Selles etapis välja jäetud muutuja peab olema sama kui 2. etapis välja jäetud muutuja.
  4. Pärast eelmises etapis kahe uue võrrandi saamist määrake kahe võrrandi lahendite komplekt, kasutades kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi (SPLDV) lahendusmeetodit.
  5. Asendage 4. etapis saadud kahe muutuja väärtus ühes SPLTV võrrandist nii, et saadakse kolmanda muutuja väärtus.

Püüame järgmises ülesandes kasutada kõrvaldamismeetodit. Määrake SPLTV lahenduste komplekt!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2a + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV saab lahendite kogumi määrata muutuja z elimineerimisega. Kõigepealt lisage võrrandid (1) ja (2), et saada:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5a = 40

x + y = 8 ... (4)

Seejärel korrutage 2 võrrandis (2) ja korrutage 1 võrrandis (1), et saada:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Pärast x-väärtuse teadmist asendage see võrrandiga (4) järgmiselt.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Asendage võrrandis (2) x ja y väärtused järgmiselt.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Nii et SPLTV lahendite komplekt (x, y, z) on (5, 3, -1).