Mis on matemaatiline induktsioon?

Matemaatika saab õpilaste jaoks hirmutava stigma , kuigi mida rohkem te matemaatikat sageli uurite ja praktiseerite, seda lõbusam ja nauditavam see on. Nii , nüüd me kutsume teid rohkem teada matemaatilise induktsiooni. Mis on matemaatiline induktsioon ja milleks seda kasutatakse?

Matemaatilist induktsiooni ennast saab tõlgendada matemaatika tõestustehnikana. Seda kasutatakse loomulikke numbreid sisaldavate spetsiaalsete lausete tõestamiseks. Selle meetodi abil tõendamine annab üldised järeldused.

Sissejuhatus matemaatilisse sissejuhatusse

Matemaatilise induktsiooni abil tõestamisel saadakse üldised järeldused. Järelduste saamiseks kasutatakse kahte tüüpi arutlusi: nimelt deduktiivne ja induktiivne arutlus.

  • Deduktiivne arutluskäik on arutluskäik, mis algab üldistest väidetest konkreetsete väideteni. Seda lähenemist nimetatakse "üldspetsiifiliseks" lähenemiseks, kuna arutlus algab üldisest ja lõpeb seejärel konkreetsete asjadega. Näide; kõik õunad on puuviljad, kõik viljad kasvavad puudel, nii et kõik õunad kasvavad puudel.
  • Induktiivne arutluskäik on arutluskäik, mis algab konkreetsetest väidetest üldiste väideteni. Seda lähenemisviisi nimetatakse üldspetsiifiliseks lähenemiseks, kuna avaldused koosnevad konkreetsetest punktidest üldtunnustatud järelduste tegemiseks. Näide; Bussireisija täheldab, et iga kord, kui bussijuht pidurit lööb, lükatakse kõik bussis olevad reisijad edasi.

(Loe ka: Transformation in Mathematics, Like What?)

Lisaks saab matemaatilise induktsiooni meetodit kasutada spetsiaalse hüpoteesi tõesuse tõestamiseks, nii et see oleks üldtunnustatud. Nii et seda meetodit kasutatakse tõestuseks induktiivsetes arutlustes.

Matemaatilise induktsiooni rakendamine

Matemaatilise induktsiooni rakendust võib leida matemaatika erinevates harudes. Matemaatikas korraldatud hüpoteesid peavad olema üldtunnustatud, et neid tõestada. Hüpotees kehtib üldiselt, kui see on tõendatud kõigi kasutatud arvväärtuste kohta. Siin on näide väitest, mida saab sel viisil tõestada.

Tõesta, et paaritu arvu -n summa on n2. Kus n on loomulik arv.

Lahendus: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 kehtib iga n € A kohta

Põhisamm: n = 1 korral saame, et P1 = 1 = 12 on õige.

Induktsioonietapp: oletame, et n = k korral on P k tõene. Näidatakse, et n = k + 1 korral vastab P (k + 1) = (k + 1) 2.

Pöörake tähelepanu järgmistele sammudele:

Kui n = k, vastab P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2.

Lisades siis kahele küljele [2 (k + 1) -1], siis

P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (tõestatud)

Matemaatilise induktsiooni põhimõtted

Olgu P (n) lause, mis sisaldab naturaalarvusid. Avaldise P (n) saab tõestada kõigi loodusarvude n kohta, järgides matemaatilise induktsiooni samme.

Selle meetodi abil saate tõendada järgmisi samme:

  1. Tõestage, et P (1) on tõene või P (n) on tõene n = 1 korral.
  2. Kui P (k) on tõene, siis näita P (k + 1) iga positiivse täisarvu k korral.

Kui etapid (1) ja (2) on õiged, võib järeldada, et P (n) kehtib iga loodusarvu n kohta. 1. etappi nimetatakse alussammuks, teist sammu aga induktsioonietapiks.