Matemaatiline loogika, eitusest biimplikatsioonini

Matemaatiline loogika on loogika ja matemaatika haru, mis sisaldab loogika matemaatilisi uuringuid ja selle uuringu rakendamist muudele matemaatikavälistele valdkondadele. Matemaatiline loogika on tihedalt seotud arvutiteaduse ja filosoofilise loogikaga, põhiteemadeks on formaalse loogika väljendusjõud ja formaalsete tõendamissüsteemide deduktiivne jõud. Matemaatiline loogika jaguneb harudeks hulga teooriast, mudeliteooriast, rekursiooniteooriast, tõestusteooriast ja konstruktiivsest matemaatikast. Nendel väljadel on samad põhiloogika tulemused.

Avaldus

Matemaatilises loogikas õpime määrama lause väärtuse. Avaldus ise on lause, millel on kindlasti tõene väärtus või kindel väärtus, kuid mitte mõlemad.

Suletud avaldus ja avatud avaldus

Seejärel jagatakse väited kahte tüüpi, suletud lauseteks (suletud laused) ja avatud lauseteks (avatud lauseteks) . Suletud väide on väide, mille tõeväärtus on kindel, samas kui avatud väide on väide, mille tõeväärtus on ebakindel.

Näited väidetest:

  • 9 on paaritu arv >> see väide vastab tõele
  • Jakarta on India pealinn >> see väide on vale

Matemaatilises loogikas esindavad väited tähed p, q või r.

Avatud laused on matemaatilised laused, millel pole tõeväärtust. See lause sisaldab alati muutujaid.

Näited avatud lausetest:

  • A on tuntud kui vihma linn
  • Atha ei käi haiguse tõttu koolis

Erinevalt kinnistest lausetest, kus tõeväärtust saab kindlaks teha, on avatud laused endiselt küsitavad, õiged ja valed. Seetõttu ei saa seda lauset öelda avaldusena.

Lahtist lauset saab muuta väiteks, kui lause muutujad asendatakse väärtusega nii, et lausel oleks tõeväärtus.

Näide:

Vihma linnana tuntud lahtine lause on, samas kui

Bogor on tuntud kui vihma linn on avalduslause

Negatsioon

Pärast aru saamist, mis on väide ja mis on lahtine lause, on järgmine samm eituse arutamine.

Eitus või nimetatakse ka eituseks / eitamiseks on väide, mis eitab seda, mida antakse. Lausemälu saab moodustada, lisades eitatava lause ette 'Ei ole tõsi, et ...'. Seda tähistatakse ~ -ga.

Ütle, et p on tõene, siis ~ p on vale. Vastupidi, kui p on vale, siis ~ p on tõsi.

Näide väite eituse kohta:

  1. Jakarta on Malaisia ​​pealinn

    Jakarta ei ole Malaisia ​​pealinn

  2. 9 on paaritu arv

    9 pole paaritu arv

Liitväited

Seejärel jagatakse lause liitlauseteks, mis sel juhul jagunevad mitmeks tüübiks:

  1. Ühendus
  2. Disjunktsioon
  3. Mõju
  4. Biimplikatsioon

1. Sidesõnad

Ühendus , mida tähistatakse (Ʌ), on liitlause koos sidesõnaga "ja". See on tõsi, kui muutujad on tõesed, ja valed, kui üks muutujatest on vale.

Näide:

p: Jakarta on maailma pealinn (tõelise väärtusega avaldus)

q: Jakarta on suurlinn (tõelise väärtusega avaldus)

p ^ q: Jakarta on maailma pealinn ja suurlinn (tõeliste väärtustega avaldus)

2. Disjunktsioon

Disjunktsioon , mida tähistatakse tähega (V), on liitlause , mis on moodustatud kahe üksiku lause ühendamisel, kasutades sidesõna "või". Disjunktsioon on tõene, kui üks väidetest on tõene ja väär, kui mõlemad väited on valed.

Näide:

p: Jakarta on maailma pealinn (tõelise väärtusega avaldus)

q: Jakarta on õpilaste linn (valeväärtusega väide)

pVq: Jakarta on maailma pealinn ehk tudengilinn (tõelise väärtusega avaldus)

3. Mõju

Järeldus on kaks küsimust p ja q, mis on öeldud lause kujul "kui p siis q". Seda tähistatakse p -> q-ga.

Näide:

p: Atha on õppimisel hoolas (tõelise väärtusega väide)

q: Atha läbis hiilgava hindega (tõelise väärtuse avaldus)

p-> q: Kui Atha õpib hoolsalt, siis Atha läbib hiilgava hindega (väide vastab tõele)

4. Biimplikatsioonid

Biimplikatsioon on liitväide, mida väljendatakse lause kujul "... ainult siis ja siis". Seda tähistatakse pq-ga, loe "p siis ja ainult siis, kui q".

Näide:

p: 1 + 1 = 2 (väide on tõene)

q: 2 on paaritu arv (vale lause)

pq: 1 + 1 = 2 ja ainult siis, kui 2 on paaritu arv (valeväärtuse lause)